几年前，在康奈尔大学任教的达伊纳·泰米纳（DainaTaimina）斜倚在纽约伊萨卡家中的沙发上，家人问她在研究什么。
“我在用钩针编织双曲平面。”她回答，她提到的这个概念，在近两个世纪中一直让数学家困惑并着迷。“你见过数学家做钩针吗？”她得到了一个不屑的回答。
然而，这种粗暴的回绝让达伊纳更加坚定了利用手工艺品来促进科学发展的决心。她也是这样做的，她发明了“双曲钩针”，这是一种环绕纱线的方法，可以制造出WI（妇女协会）公司生产的那种复杂而美丽的物品，这也有助于以一种数学家从未想过的方式理解几何学。
我稍后将介绍“双曲”的详细定义以及达伊纳的钩针模型得到的发现。
但在这里，你只需要知道，双曲几何是一种完全反直觉的几何学，它在19世纪早期出现。在双曲几何中，欧几里得在《几何原本》中制定的一套规则被认为是错误的。“非欧几里得”几何学（简称非欧几何）是数学的分水岭，因为它描述的物理空间理论完全违背了我们对世界的经验，它难以想象，但它在数学上并不自相矛盾，因此它与之前的欧几里得体系同样有效。
同样在19世纪，格奥尔格·康托尔（GeorgCantor）后来也取得了具有类似意义的突破，他颠覆了我们对无穷大的直觉理解，证明了无穷大有不同大小。非欧几何和康托尔的集合论是通往两个奇异世界的大门，我将在接下来的篇幅中拜访这两个世界。可以说，它们共同标志着现代数学的开端。
双曲钩针编织品
让我们重新回顾一下很早之前提到的内容：《几何原本》是有史以来最有影响力的数学教科书，它阐述了古希腊几何学的基础。
它还建立了公理化方法：欧几里得首先明确定义了使用的术语和遵循的规则，然后以此为基础建立起一个定理体系。一个系统的规则（或者叫公理）是可以无须证明就被接受的事实，因此数学家总是试图使它们尽可能简单直白。
欧几里得仅用5条公理就证明了《几何原本》中总共条定理，这5条公理通常被称为5个公设：
1.任意两点之间有一条直线。
2.任意直线上可以产生线段。
3.给定任意圆心和半径，可以画出一个圆。
4.所有直角都相等。
5.如果一条直线与两条给定的直线相交，使同一侧的内角之和小于两个直角之和，则这两条给定的直线必定在内角之和小于两个直角的那一侧相交。
看到第五公设，我们会感觉有些不对劲。这几条公设一开始非常简洁，前四条简单易懂，易于接受。但第五条为什么出现在这里？这条公设冗长而复杂，而且并没有非常直白。它甚至并没有那么根本，《几何原本》中到命题29才第一次用到了它。
尽管数学家欣赏欧几里得的推演方法，但他们厌恶他的第五公设。这不仅违背了数学家的审美，而且他们认为第五公设假设的成分太多，无法成为一则公理。事实上，两千年来，许多伟大的思想家试图改变第五公设的位置，他们想依据其他公设推导出第五公设，让它变成一则定理，而不是继续作为一条公设或公理存在。但没有人取得成功。也许证明欧几里得的才智的最明显证据就是，他发现第五公设必须在不用证明的情况下被接受。
数学家设想用不同术语重新表述这一公设，并取得了很大的成功。
例如，17世纪的英国人约翰·沃利斯发现，保留前四条公设不变，用以下表述替代第五公设，《几何原本》的所有内容也都可以被证明。这一表述就是，给定任意三角形，它可以被放大或缩小到任意大小，而边长的比例保持不变，两边之间的夹角也不变。深入思考，我们会认识到第五公设可以被重新表述为关于三角形的陈述，而非关于直线的陈述，但它并没有解决数学家的担忧，因为沃利斯的公设也许比第五公设更直观（尽管也许只是略微更加直观），但它仍然不像前四条公设那样简单明了。
数学家们还找到了第五公设的其他说法：如果第五公设被替换为三角形中的内角之和是度，或者毕达哥拉斯定理，或者所有圆的周长与直径之比都是π，欧几里得的定理也仍然成立。虽然每句话听起来都不一样，但这些陈述在数学上都是可以互换的。然而，最便利地表达了第五公设本质的等价说法涉及平行线的行为。从18世纪开始，研究欧几里得的数学家开始倾向于使用这个版本，也就是所谓的平行公设：给定一条直线和直线外的一点，最多有一条直线通过该点与原来的直线平行。
可以证明，平行公设指的是两种不同类型的面，它取决于“最多有一条直线”这几个字，这是一种数学的说法，表示“要么有一条直线，要么没有直线”。第一种情况如图下所示，对于任意一条直线L和点P，只有一条平行于L的直线（标记为L）通过点P。这种平行公设的情况适用于最明显的一类面，也就是平面，比如你桌子上的一张纸。
平行公设
现在，让我们设想这条公设的第二个版本，那就是，对于任意直线L和线外的一点P，没有通过P的直线平行于L。乍一看，很难想象这可能是一种什么类型的面。它究竟在哪里？就在地球上！例如，假设我们的直线L是赤道，而点P是北极。穿过北极的所有直线都是经线，比如格林尼治子午线，所有经线都和赤道相交。所以，没有一条穿过北极的直线与赤道平行。
平行公设为两种面提供了几何学描述，它们分别是平面和球面。《几何原本》研究的是平面，因此两千年来，平面一直是数学研究的主要焦点。像地球这样的球面对理论学家的吸引力远不如对航海家和天文学家的吸引力。直到19世纪初，数学家才发现了一个更广泛的涵盖了平面和球面的理论，他们遇到了第三种面——双曲面。
一些人试图利用4条公设来证明平行公设，从而表明它根本不是一条公设，而是一则定理，其中最坚定的代表是来自特兰西瓦尼亚的工程学本科生亚诺什·鲍耶（JanósBolyai）。他的数学家父亲法尔卡斯（Farkas）从自己失败的尝试中认识到了这个挑战有多么艰巨，并恳求儿子停止：“天啊，求你了，放弃吧。像惧怕爱一样惧怕它吧，因为它也可能占用你所有的时间，剥夺你的健康、心灵的安宁和生活中的幸福。”但亚诺什固执地无视父亲的建议，这并不是他唯一的叛逆之举，因为亚诺什认为这条公设可能是错误的。《几何原本》之于数学，就像《圣经》之于基督教一样，那是一本包含着不可挑战的神圣真理的书。虽然第五公设是公理还是定理仍有争议，但没有人鲁莽地认为它实际上可能并不正确。而事实证明，这种做法打开了一个新的世界。
平行公设指出，对于任意给定的直线和直线外的一点，最多有一条平行线穿过该点。亚诺什大胆地提出，对于任何给定的直线和直线外的一点，有不止一条平行线穿过该点。尽管当时他还不清楚如何视觉化地呈现出使这种陈述成立的面，但亚诺什意识到，这一陈述连同前面4条公设所创造的几何学，在数学上仍然具有一致性。
这是一个革命性的发现，他认识到这一发现意义重大。年，他写信给父亲说，“我凭空创造了一个新的宇宙”。
亚诺什不知道的是，在一个比特兰西瓦尼亚更加远离欧洲学术中心的地方，另一位数学家也独立地取得了类似的进展，但他的工作被数学机构拒稿了。年，俄国喀山大学教授尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（NikolaiIvanovichLobachevsky）向国际知名的圣彼得堡科学院提交了一篇论文，对平行公设的正确性提出了质疑。这篇论文被拒绝了，于是罗巴切夫斯基决定将它交给当地报纸《喀山信使》发表，结果并没有人注意到。
然而，在有关欧几里得第五公设从不可动摇的真理地位上被推翻的故事里，最大的讽刺是，早在几十年前，就有数学界的核心人物做出了与亚诺什·鲍耶和尼古拉·罗巴切夫斯基相同的发现，但是这个人却对同行隐瞒了他的结果。当时最伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯为什么决定不公布有关平行公设的研究成果，这一点至今仍令人疑惑不解，但人们普遍认为，他不想被卷入教职员工之间有关欧几里得的卓越地位的纷争。
年，亚诺什的父亲法尔卡斯在一本书中以附录的形式发表了亚诺什的研究，读到这些结果后，高斯才向别人透露，他也曾考虑过平行公设是错误的。他写了一封信给自己的大学同学法尔卡斯，称亚诺什是“一流的天才”，但他表示自己无法称赞他的突破：“因为称赞这一突破，其实就是自夸。这篇论文的全部内容……与我自己的发现完全一样，其中一部分可以追溯到30到35年前……我本来打算以后把它们都写下来，这样它至少不会跟着我一起消失。现在免了我的麻烦，因此这对我来说真是一个惊喜。我特别高兴的是，在这件事上，是我的老朋友的儿子比我先做到了。”亚诺什得知高斯最先得出了证明的时候，他非常沮丧。几年后，当亚诺什发现罗巴切夫斯基也比他更早证明时，他产生了一种荒谬的想法，认为罗巴切夫斯基是高斯虚构出来的人物，这是为了剥夺他的研究功劳的诡计。
高斯对第五公设研究的最后一个贡献出现在他去世前不久，当时他已经病入膏肓。27岁的伯恩哈德·黎曼（BernhardRiemann）是高斯最聪明的学生之一，高斯将黎曼的见习演讲题目定为——“关于几何学基础的假设”。黎曼对这个问题的解答将彻底改变数学，后来也彻底改变了物理学，因为爱因斯坦需要用黎曼的创新来阐述广义相对论。
黎曼年的演讲加深了我们对几何学的理解的转变（由平行公设的倒塌导致），建立起了一个包含欧氏几何和非欧氏几何的全面理论。黎曼理论背后的关键概念是空间的曲率。当一个表面的曲率为零时，它是平的，也叫作欧几里得面，这时《几何原本》中的结果都成立。当一个表面具有正曲率或负曲率时，它是弯曲的，也叫作非欧几里得面，《几何原本》中的结果也不再成立。
黎曼继续解释道，理解曲率的最简单的方法是考虑三角形的特性。在曲率为零的面上，三角形的内角之和等于度。在具有正曲率的面上，三角形的内角之和大于度。而在曲率为负的面上，三角形的内角加起来小于度。球面的曲率是正的。我们可以通过考虑图11–3中三角形的内角之和发现这一点。图中这个三角形由赤道、格林尼治子午线和西经73度的经线（这条经线穿过纽约）构成。两条经线与赤道相交的两个角都是90度，所以这三个角的总和一定大于度。什么样的面具有负曲率？换句话说，哪里有内角之和小于度的三角形？打开一包品客薯片你就能看到了。在薯片的鞍形部分画一个三角形（可能会抹掉法国*芥末），见图11–4，相比于我们在球面上看到的“鼓出来”的三角形，这个三角形看起来像是“被吸进去”的一样。它的内角之和显然小于度。具有负曲率的面被称为双曲面。所以，品客薯片的表面是双曲面。但品客薯片仅仅是理解双曲几何的餐前开胃菜，因为它有边界。
给数学家设置一道边界，数学家就会想要超越它。可以这么想。想象一个曲率为零、没有边的面，这很直观，比如将书的这一页平摊在桌子上，让它向各个方向无限延伸出去。如果我们生活在这样一个面上，沿一条直线向任意方向走，将永远也走不到边缘。与此类似，我们也有一个显而易见的例子展示一个具有正曲率且没有边的曲面，那就是球面。如果我们生活在球面上，就可以一直朝一个方向走下去，永远不会到达边缘。
那么负曲率且没有边缘的面是什么样子的？它不可能像一片薯片，因为如果我们生活在一个地球大小的薯片上，朝一个方向走，最终总是会从上面掉下来。长期以来，数学家一直想知道“无边”的双曲面是什么样的。在这样一个曲面上，我们想走多远就走多远，永远不会走到它的尽头，它也不会失去双曲的特征。我们知道它一定到处都像薯片一样弯曲，那么把很多薯片粘在一起怎么样？很遗憾，这行不通，因为薯片无法整齐地拼在一起，而如果我们用另一种表面填补那些空隙，那么新的区域就不会是双曲面了。也就是说，薯片只能让我们设想出一个部分具有双曲性质的区域。一个永远延伸出去的双曲面非常难以想象，许多最聪明的数学家竭尽全力也没能做到。
球面和双曲面在数学上是截然相反的，这里有一个实际的例子来说明原因。从一个球面上，比如一个篮球上，切下一块，当我们把这一小块放在地上压平时，它要么会被拉伸，要么会裂开，因为没有足够的材料让它以一种平整的方式展开。现在想象一下我们有一片橡胶的“薯片”。当我们试图把它平放在地上时，橡胶薯片会有多余的部分折叠起来。球面是闭合的，而双曲面会扩张。让我们回到平行公设，它为我们提供了一种非常简洁的方法来给平面、球面和双曲面分类。对于任何给定的直线和直线外的一点：
在平面上，有且只有一条平行线通过那一点。
在球面上，没有平行线通过那一点。
在双曲面上，有无限多条平行线通过那一点。
我们可以直观地理解平行线在平面或球面上的行为，因为我们可以很容易地想象出一个永远延伸的平面，而且我们都知道什么是球面。理解双曲面上平行线的行为更有挑战性，因为我们还不清楚当双曲面延伸到无穷远时，这种曲面可能是什么样子。双曲空间中的平行线会相距越来越远。它们不会弯曲，因为要使两条线平行，它们必须是直线，但它们会向不同方向延伸，因为双曲面本身会不断弯曲，曲面弯曲得越明显，它在任意两条平行线之间创造出的空间就越大。同样，这个想法完全令人难以置信。尽管黎曼天赋异禀，但他并没有想到一个具有他所描述的特性的曲面，这也并不奇怪。
在19世纪的最后几十年间，想象双曲面的挑战激发了许多数学家的斗志。亨利·庞加莱的一次尝试引起了M.C.埃舍尔的注意，埃舍尔著名的木刻版画《圆极限》系列就受到了庞加莱的双曲面“圆盘模型”的启发。在《圆极限IV》中，圆盘上包含一个二维宇宙，越接近圆周，天使和魔*的图案就越小。然而，天使和魔*并没有意识到它们在变小，因为随着它们缩小，它们的测量工具也在变小。
对这些圆盘上的“居民”来说，它们的大小一直不变，而它们的宇宙会一直存在下去。
《圆极限IV》
庞加莱的圆盘模型的巧妙之处在于，它完美地展示了平行线在双曲空间中的行为。庞加莱的圆盘世界极具启发性，但仅仅在一定程度上如此。虽然通过一种相当奇怪的透镜扭曲变形后，它为我们提供了一个双曲空间的概念模型，但它并没有真正揭示出双曲面在我们的世界中究竟是什么样子的。在19世纪的最后几十年中，人们似乎马上就要找到更贴近真实的双曲模型了，但到了年，德国数学家大卫·希尔伯特（DavidHilbert）彻底浇灭了这个希望。希尔伯特证明，用公式描述双曲面是不可能的。数学界无可奈何地接受了希尔伯特的证明，因为他们认为，如果没有办法用公式来描述这样一个面，那么这样的面一定不存在。人们就这样放弃了提出双曲面模型的想法。
达伊纳·泰米纳曾经开过一门双曲空间的历史课程。她说，希尔伯特证明双曲空间不能由公式表示，带来的结果之一是，计算机无法生成双曲面的图像，因为计算机只能根据公式构建出图像。但是，20世纪70年代，几何学家威廉·瑟斯顿（WilliamThurston）发现，一种不需要很高技术的方法更有成效。他提出，你不需要公式就能创建双曲模型，只需要纸和剪刀就可以了。瑟斯顿在年被授予菲尔兹奖（数学中的最高奖项），他现在是达伊纳在康奈尔大学的同事，他想出了一个模型，用马蹄形的纸片粘在一起就能做成。
达伊纳用瑟斯顿的模型给她的学生展示过，但这个模型太脆弱了，总是散架，她每次都要做一个新的。“我讨厌粘纸，这让我抓狂。”她说。然后她灵机一动：如果能用针织的方式织出一个双曲面的模型呢？
她的想法很简单：先织第一行，然后在后面的每一行中，在前一行的针数的基础上相应增加固定比例的针数。例如，在前一行每两针的基础上增加一针。这样的话，如果你从第一行20针开始，第二行将有30针（加了10针），第三行会有45针（加15针），以此类推。她希望这样能创造出一块越来越宽的织物，就像以双曲面的方式展开一样。但这样的针织很麻烦，因为任何一步错了，她就需要把一整行拆开，所以她把针织换成了钩针。有了钩针，就不用再拆开了，因为一次只会织上去一针。
达伊纳给她丈夫看了双曲钩针模型，他也很兴奋。戴维·亨德森（DavidHenderson）是康奈尔大学的几何学教授。他的专长是拓扑学，达伊纳说自己对拓扑学一无所知。戴维向她解释，拓扑学家早就知道，在双曲面上画一个八边形时，它可以折叠成一条裤子的形状。“我们必须得把那个八边形构建出来！”他告诉她，而他们也确实做到了。“以前没人见过‘双曲裤’！”达伊纳大声说道，她打开随身携带的运动包，拿出一个用钩针编织的双曲八边形，把它折起来给我看这个模型。它看起来像一条非常可爱的幼儿羊毛短裤：
钩针编织的双曲八边形
达伊纳的针线作品在康奈尔大学数学系里传开了。她告诉我，她把模型给了一个研究双曲面的同事看。“他看着模型，开始把玩。然后他面露喜色。‘这就是极限圆的样子！’他说。”他发现了一类他以前无法想象出的非常复杂的曲线。“他的整个职业生涯都在写关于这些东西的论文。”达伊纳补充道，“但它们一直在他的想象中。”
毫不夸张地说，达伊纳的双曲模型为这个非常困难的数学领域提供了重要的新见解。它们可以帮助人们通过本能来体验双曲面，让学生能够触摸并感受到一个面，而这种面以前只能以抽象的方式理解。这类模型并不完美，一个问题是，织物的厚度使得钩针模型仅仅是大致近似于理论上完全光滑的表面。尽管如此，它们比品客薯片更通用，也更精确。如果一件双曲钩针织物有无数行，理论上来说，我们就有可能生活在这个表面上，永远朝着一个方向走下去，不会走到边缘。
达伊纳的模型的魅力之一在于，对于以如此形式化的方法构想出的东西来说，它们竟然看起来像某些生物。当每行针的数量增加得相对很小时，模型看起来像羽衣甘蓝的叶子。当增加量更大时，模型会自然地折叠成一块一块的，看起来就像珊瑚。事实上，达伊纳来到伦敦就是为了“双曲钩针珊瑚礁”的开幕式，这是一个以她的模型为灵感的展览，希望提高人们保护海洋的意识。由于她的创新，她在不知不觉中引发了一场全球的钩针运动。
如果达伊纳是位男士，她不太可能想出双曲钩针的主意，也不会发明出这件在数学文化史上引人注目的手工制品。在数学的文化史上，女性一直不被重视。事实上，钩针只是近年来传统女性手艺品启发数学家探索新技术的一个例子。现在，与数学相关的钩针和编织、被子制作、刺绣、纺织，都被归为数学和纤维艺术这个学科中。
双曲空间最初被构想出来时，似乎违背了我们对现实的感觉，但如今，它已经被认为与平面或球面一样“真实”。每个面都有自己的几何特性，我们需要选择最适用的那种，正如亨利·庞加莱说过的那样：“一种几何不会比另一种更真实，它只会更方便。”
本文摘自中信鹦鹉螺《数学王国的冒险之旅》
《星期日泰晤士报》畅销书
入选BBC塞缪尔·约翰逊图书奖短名单
讲述数学世界里的有趣探险和诙谐故事
展示数学迷人又出乎意料的一面